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admin 2019-06-16 阅读:316

引子

有一天一个朋友在微信群里提问:各位帮助啊,儿子问球表面积和体积的公式怎样推导的,怎样用小学五年级能了解的言语解说这件事?

这真是个好问题。孩子的求知欲现已不满意死记硬背

想知道背面的原因。我的孩子尚小,还在了解加减法的阶段,问不出这么有深度的问题。不过我信任为人爸爸妈妈者,面临好学求知的孩子,必定都会各抒己见、畅所欲言吧。可是,怎样解说清楚呢?本文测验整理一下推导进程,看看能否用初等的数学解说,也算是一个应战。闲话少说,且听渐渐道来。

长方形、三角形、梯形面积

先从长方形面积开端。咱们都知道长方形的面积是底 *高,直观上不难了解:这便是数一数图中有多少单位小正方形算了。堆了 m 排小正方形,每排有 n 个,总数便是 m*n 个;每个小正方形的面积是1,所以总面积是 m*n。把整数 m,n 换成分数也相同建立,无非是以更小的正方形做单位来数算了。

把两个三角形或许两个梯形一正一反拼起来,得到了长方形。由此得到三角形的面积是长方形的一半, 也便是(底*高)/2,而梯形的面积是 (上底 +下底)* 高/2。乃至能够说,三角形是梯形面积公式的特例,三角形是上底 =0的梯形,长方形则是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了,它归纳了悉数三种景象。

图:两个直角梯形拼成长方形,摘自easycoursesportal.com

大数学家高斯小时候算1+2+3+...+100=5050的故事,咱们恐怕是耳熟能详了。高斯运用的等差数列求和公式,总和= (首项+末项)* 项数/2,本质上和梯形面积公式是一回事:首项、末项分别是上底和下底,项数是高。这个比如看出数学是广泛联络的全体,求数列和、求面积体积、求积分,都是一个东西,仅仅符号不同算了

斜三角形面积和祖暅原理

好学的孩子或许会立刻指出,上面的做法核算三角形和梯形的面积,只适用于直角三角形和直角梯形。为什么对一般的“斜三角形、斜梯形”也建立?

简略的解说是斜三角形,一正一反会拼成等底等高的平行四边形。而平行四边形能够不断切掉斜角补到另一侧(有时或许要做屡次),变成一个等底等高的长方形。所以平行四边形的面积也是底 * 高,上面三角形和梯形公式依然建立。

图:平行四边形面积等于长方形面积,摘自 mathbits.com

可是有更好的解说:恣意两个等高的图形,假如对应高度上的平行截线长度都相同,则它们的面积相同。这是个很强壮的原理,并不限于三角形和梯形。并且在三维空间上也建立:恣意两个等高的物体,假如对应高度上的平行截面积都相同,则它们的体积相同

图:依据祖暅原理,左右两个图形面积持平,摘自 mathbits.com

这便是有名的祖暅原理,由南北朝时期的数学家祖暅之提出。祖暅之是祖冲之的儿子,他们父子都很了不得,是中国古代数学的自豪。西方数学文献中,这个原理被归在十七世纪意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri)的名下。

祖暅原理不难了解:幻想每个高度上,都被一个很细的小条覆盖住,小条的长度是这个高度上的截线长度,厚度是个很小的d 。一切小条的面积加起来便是图形的面积 —— 有些小差错,可是当 d -> 0 时差错就缩小到0,得到准确面积。已然这两个图形在每个高度上的截线长度都相同,对应的小条的面积也相同,所以总面积天然也相同。上述推理应用到三维空间也建立,只要把“截线长度”换成“截面面积”就好了。

维基百科的条目上给了个风趣的图示:幻想桌上放一摞硬币,堆成的柱体的体积便是硬币的总体积(左图)。把硬币随意水平移动,得到了另一个柱子(右图)。新柱子的每个截面面积和本来的柱子的对应截面面积相同,体积也没变,由于仍是那堆硬币的总体积。这个比如展现了祖暅原理的原因。

图:摘自Wikipedia

祖暅原理告知咱们,平行四边形面积和等底等高的长方形面积持平,由于每个高度的截线长度都持平。同理,等底等高的三角形(或梯形)的面积也是持平的,由于依据相似性,它们也满意祖暅原理的条件。

图:依据平行线分线段成份额定理,左右两个三角形对应高度的截线持平。依据祖暅原理,它们面积持平。摘自 mathbits.com

图:三维空间的祖暅原理:左右两个物体体积相同。摘自 brown.edu

长方体、棱锥、圆柱、圆锥、锥台体积

现在说体积。咱们熟知棱柱或圆柱体积 =底面积 * 高,而棱锥和圆锥的体积,是同底同高的棱柱或圆柱体体积的1/3 ,也便是 底面积 * 高/3。为什么呢?

使用上面数方块的方法,知道长方体的体积 = 底面积 * 高。一个正方体,能够刚好切成三个全等的“直角金字塔”,每个金字塔的底面是正方体的一面,高是正方体的边长。

图:摘自 math.brown.edu

所以底面为正方形、高为正方形边长的棱锥的体积为等底等高棱柱的1/3 。依据祖暅原理和相似性,很简略把这个定论推行到一般的棱锥和圆锥。

核算球体体积

心急的观众或许要等不及了:绕了这么半响,怎样还没提到球体?好消息是:现在就说 — 由于准备工作现已做足了。

表面积

提到这儿,现已答复了开始的问题。可是还有两件工作值得一说。其一,不只球表面积能够看成是球的“底面”,用棱锥公式推导球体积;平面上的圆也能够看成是许多等高的小三角形拼成,用三角形面积公式= 底* 高/2来算。这儿高是圆半径,三角形的底的和是圆周长。所以圆面积 = 圆周长 * 高/2。

这个规则乃至在更高的维度也建立, N维空间的球体积有如下的美丽公式: 球体积=球表面积 * 半径/N。这儿系数1/N 来自N 维空间中的“棱锥”(学名是单纯形)和对应的长方体(超矩形)的体积联系。看,本来球便是个底面自我关闭的棱锥,如此算了。

直接核算球表面积

另一件值得提及的工作,是有没有或许不通过体积,直接核算球表面积?事实上,球的表面积和一个半径为R,高度为2R的圆柱侧面积是相同的。下图左边的球和右侧的圆柱半径持平,高度也持平,也便是球能够刚好装进这个圆柱里卡住。这个圆柱的侧面积(不包括上下底),很简略核算:

刚好是咱们知道的球表面积。

图:摘自 wolfram mathworld

其实球的表面积和圆柱侧面积是“一一对应”的,用任何一对平行平面切出来的球带面积(左边浅蓝区域)和对应的圆柱侧面积(右侧浅蓝区域)都是持平的。这件工作最早被阿基米德写在作品《论球与圆柱》中,被后人称作“Archimedes’ Hat-Box Theorem”。

总结

球体的几许性质是个诱人的范畴,这儿测验用初等的数学和几许直观,解说阿基米德和祖氏父子这些前驱们所发现的工作。是否达到了“让小学五年级的孩子了解”无从判别,可是总算躲开了微积分等深邃的数学言语。个人感觉把数学原理用简略言语解说,既是很大的应战,也是个“返璞归真”的时机,来从头看到隐藏在笼统符号后边那些直观的道理。

请问读者:这个推理过错的原因是什么?

图:算球表面积的过错方法,转自百度文库

本文作者waikok,清华核算机本科及博士,谷歌码农,娃爸,喜读书,好古文,爱编程,业余时间揣摩数学。

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